그에비해 수학을 보자.

우리가 위에서 언급했던 1+1=2를 보자. 1+1=2는 이세상 어느곳을 가든 자명하다.

고대를 가든,현대를 가든, 동양에 가든,서양에 가든 1+1=2 이다.

그래서 플라톤은 수학은 우리가 세계에서 볼 수있는것중에

이데아에 가장 가까운 것이라 여겼고, 이를 연구하면 이데아에 가까워 질 수 있을거라고 생각했다.

그래서 본인 스스로 수학을 가르치는 학교까지 설립했고 이는 아카데미의 어원인 '아카데미아'이다.

각설하고 우리는 지금 동양과 서양의 수학적 차이가 왜 벌어졌는지를 이야기하고 있었다.

그에 대한 답은 '철학이 달라서' 이다.

플라톤의 철학적 전통은 그대로 이어져 서양은 수학을 단순히 실생활에 도움을 주는 도구가 아닌

진리탐구의 수단으로 보았다. 세계의 본질을 찾아내는 도구로 인식한것이다.

그래서 서양은 수학을 실생활의 영역에서 넘어서 '연역화'를 하였다.

그니까 연역화가 도대체 무엇이냐

유클리드 [원론]을 보자. 유클리드 원론은 서양 수학의 성경이나 다름없는 책이다.

서양 수학자들이 한국으로 치면 수학의 정석 보다 백만배정도 더 중요하게 생각하는 책이다.

여기서  유클리드는 5가지의 공리(변하지 않는 사실)를 정해놓고 이를 바탕으로 248개의 명제를 증명했다.

이처럼 소수의 일반적인 원리로부터 논리적인 절차를 밟아서 낱낱의 사실이나 명제를 유도하는 것을 연역이라 한다.

이런 연역적 방법론이 동양 수학에선 존재하지 않았다.

즉 '어떻게' 풀었는지만 중시하고 '왜' 그렇게 되었는지는 관심밖의 일이였다.

우리 홍정하가 쓴 [구일집]도 개개의 문제에 대해 나뭇가지를 사용하여 문제를 풀어내는 방법만 적어놨지

어떠한 논리체계를 거쳐 그런 결론에 다다른지는 기술하지 않고 있다.

서양수학이 '왜?'에 집착한 이유도 바로 플라톤의 철학에 근거한다.

수학은 세계의 본질을 찾는 학문이기 때문에 반드시 체계적이고 선후관계가 논리적으로

완벽해야 하기 때문이다. 

이런 시각을 가장 극명하게 보여주는 일례로 

서양수학의 아버지이자 위에서 언급한 유클리드의 일화가 있다.

유클리드가 강의하던 도중 누군가 손을 들고

'도대체 수학을 배워서 어따 써먹을 수 있습니까?' 라고 질문하자 하인을 불러

"여봐라, 배운 것으로 반드시 이득을 얻으려고만 하는 저 친구에게는 동전 세 닢만 주고 강의실 밖으로 쫓아내라."

라고 일갈한 일화가 있다.

이처럼 수학을 단순히 계산도구의 일종이라 본 동양과는 궤를 달리한것이다.

그래서 동양의 수학은 피타고라스의 정리나 삼각함수, 더 나아가서 미적분학 같이 추상적이고

일반화된 수학으로 발전하지 못한것이다.

단순히 누가 더 똑똑하고 말고나 유교경전을 읊고 안읊고의 차이가 아닌것이다.

잡소리가 길었다.

자 그렇다면 다시 첫번째 질문으로 돌아가자

1+1은 왜 2인가?

라는 질문에 전통적 서양 수학자들이 할 대답은

'원래 그렇다!'

띠용? 뭔가 맥이 빠지는 대답이다.

하지만 그것이 유클리드 이래로 수천년동안 서양 수학자들이 가졌던 생각이다.

1+1=2 라는것은 수학적 진리이고, 저 머나먼 세상 이데아의 세계에 그렇게 정해져있다.

이것이 플라톤의 대답이다.

그리고 이 지적전통이 이어져 중세시대에는

'하나님이 그렇게 정했다!' 라고 대답한다. 

이런 믿음은 1900년대초까지 흔들림 없이 이어진다.

이처럼 처음에 평행선을 그려도 쭈욱 그려나가다 보면 결국 북극 근처에서 한점에서 모이게 된다

즉  이 공간에선 평행선이 존재하지 않는다!!

그럼 평행선이 반대로 무수히 많은 경우도 있을까?

로바체프스키는 쌍곡면에서는 무수히 많음을 보였는데 생략하도록 한다.

어쨌든 있다.

로바체프스키,보여이,리만은 5번째 공리를 부정하고 새로운 공리체계를 바탕으로 만든

기하학인 비유클리드 기하학을 각각 독립적으로 정리해 발표한다.

자 근데 그럼 이게 뭐가 중요하냐고?

공리가 틀릴수도 있음을 보였다!!!

 

공리는 아무런 증명없이 받아들이는 일종의 진리값이다.

그 공리를 바탕으로 논리적으로 수백,수천가지의 명제를 증명해 나가는게

기존 수학자들의 전략이였다.

그리고 그렇게 만들어진 수학의 견고한 세계안에서 살아가는게 우리 수학자들이였다.

 

그런데 그 공리들중 하나를 부정한 수학체계가 있을수 있고 심지어 무모순이다.

수학자들 입장에선 마치 우주에 우리 말고 다른 외계인이 살고있다는걸 알게 된것과

비슷한 충격이였다.

사실 비유클리드 기하학의 발견도 우연이였다.

수학자들은 유클리드 기하학을 완성하기 위해 5번째 공리를 연구하고 있었다.

5번째 공리가 '공리'가 맞는지 아닌지에 대한 의혹이 꾸준히 제기 되었고

다른 네가지 공리를 이용해 이를 규명하려 시도했지만 도저히 증명되지 않았다.

그래서 그들은 다른 전략을 취했는데,

바로 5번째 공리를 부정하면 수학 체계에 모순이 생김을 활용해 공리임을 증명하려 했는데.......

짜잔! 오히려 무모순의 새로운 수학체계가 완성된 것이다!

이게 얼마나 큰 문제이냐 하면

전편에서 말했듯이 플라톤은 수학적 지식이 미리 정해져 있다고 주장했고

후대 수학자들은 이를 굳게 믿고있었다.

그런데 미리 정해져 있는줄 알았던 공리가 맞아도,틀려도 별 문제 없다는게 밝혀지면서

이런 믿음이 뿌리채 흔들리게 된것이다!

과연 수학적 지식은 신이 정해놓은 절대적 진리인가?